PROBABILIDAD CONDICIONAL (EJEMPLOS)

Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

1. La primera semilla sea roja?
2. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

1. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: 
2. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por 

, y se lee: la probabilidad de B₂ dado R₁.
Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.
Veamos la situación en un diagrama de árbol:

Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y 
De donde 
Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,
Como los eventos (BÇ A) y (BÇ A^C) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos:  [3.3]
Despejando P(AÇ B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(A^CÇ B) = P(A^C) P (B/A^C)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(A^C) P (B/A^C).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(AÇ B) y P(A^C) P(B/A^C) = P(A^CÇ B)

Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:

REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD (EJEMPLOS)

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene  items de los cuales  son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento  que es la intersección entre los eventos  y . De la información dada se tiene que:

 

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

jemplo 2 La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es . La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es . ¿ Cúal es probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta?

Solución

Sean

 : el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y

 : el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas.

 el evento condicional, la batería de un automóvil que esta sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor recibe una corriente de carga mayor que la normal

De la información dada se tiene:

, 

Luego, la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta,  es :

Ejemplo 3

El  de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión sanguínea alta el  toman licor mientras que solamente el  que no sufren de presión sanguínea alta lo toman. Calcule el porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta.

Solución:

Sean los eventos:

La probabilidades asociadas a estos eventos son:

Y la probabilidad a calcular es . El diagrama de árbol, ayuda a entender problemas relacionados con la regla de la multiplicación, como es el caso del presente problema:

El porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta es determinado como

4. Un lote contien  artículos de los cuales  son defectuosos y  no defectuosos son inspeccionados uno por uno. Si los artículos son seleccionados al azar sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:

a. Los primeros dos artículos sean defectuosos

b. Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos

c. El tercer artículo es defectuoso

d. Si se tine la siguiente regla: se acepta el lote de  artículos si al observar  artículos máximo uno es defectuoso, calcular la probabilidad de rechazar el lote.

Solución:

Sean los eventos:

 

 

, 

a  El evento de interés es  y su probabilidad es

b. El evento de interés es  y su probabilidad es

c. El evento de interés es  y su probabilidad es

d. Como no se rechaza el lote cuando esxista  defectuoso y  defectuoso, entonces

Luego

rechazarAceptar