MATEMATICAS II: abril 2014

PROBLEMAS CON LEY DE COSENO

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

c

2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

x

2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°

x

2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x

2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x

2 = 100 + 36 + 60

x

2 = 196

x

= 14

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

b

2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

x

2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45°

x

2 = 36 + 100 − 120 2 2

x

2 = 136 − 602

x

2 ≈ 51.15

x

≈ 7.15

En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y

Solución:
Como conocemos los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

	Hallando x $a$ 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A $12$ 2 = 6 2 + 14 2 − 2 ( 6 ) ( 14 ) cos x $144$ = 36 + 196 − 168 cos x $168$ cos x = 36 + 196 − 144 $cos$ x = 88168 $x$ ≈ 58.41°
	Hallando y $c$ 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C $14$ 2 = 12 2 + 6 2 − 2 ( 12 ) ( 6 ) cos y $196$ = 144 + 36 − 144 cos y $144$ cos y = 144 + 36 − 196 $cos$ y = -16144 $y$ ≈ 96.38°

PROBLEMAS CON LEY DE SENO

Resolver el triángulo si se sabe que las medidas de los ángulos son las siguientes: A=52°, B=58°, B=70° y que el lado opuesto al ángulo C mide 26.7 unidades.

Solución:

Sabemos que la suma de la medida de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto para hallar el ángulo C, utilizamos los ángulos A y B .

C = 180°-(52°+70°)
C = (180°-122)° =58°

Encontrar la medida del lado opuesto al ángulo A, llamémoslo

" a "

sen

( 58° ) 26.7 = sen ( 52° ) a a = 26.7 sen ( 52° ) sen ( 58° ) a = 24.8

Encontrar la medida del lado opuesto al ángulo B, llamémoslo

" b "

sen

( 70° ) b = sen ( 58° ) 26.7 b = 26.7 sen ( 70° ) sen ( 58° ) b = 29.6

Resolver el triángulo con lados

a

= 20 y

c

= 11 y el ángulo C (opuesto al lado c) mide 30°

Solución:
	$sen$ ( 30° ) 11 = sen ( A ) 20 sen ( A ) = 20 ( 1 2 ) ( 1 11 ) sen ( A ) = 10 11 A = arcsen ( 10 11) A = 65.38° La función seno tiene el mismo valor para el ángulo 180°-65.38°=114.2°, por lo tanto A tiene dos posibles valores: 65.38° o 114.2° Entonces, para el ángulo B también tenemos dos posibles soluciones:
Solución 1: Si A=65.38°, entonces: $B′$ = 180 − 30 − 65.38 B′ = 84.62 Por lo tanto el lado b′sería: $sen$ ( 30° ) 11 = sen ( 84.62° ) b′ b′= 11 sen ( 84.62° ) sen ( 30° ) b′ ≈21.9	Solución 2: Si A=114.2°, entonces: $B″$ = 180 − 30 − 114.2 B″ = 35.8 Por lo tanto el lado b″ sería: $sen$ ( 30° ) 11 = sen ( 35.8° ) b″ b″ = 11 sen ( 35.8° ) sen ( 30° ) b″ ≈ 12.9

LEY DE SENOS Y COSENOS

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac * cos(B)

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

EJERCICIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Comprobar las identidades:

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades trigonométricas fundamentales

1Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:

1 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

GRAFICAS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.

Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función. En la figura de abajo se presentan algunas gráficas de funciones trigonométricas.

Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x).

El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.

Gráfica de la Función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Coseno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza lax de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Tangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra eldesarrollo de la gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Cotangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x. Esta figura muestra eldesarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Secante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion coseno. Recuerde que la función secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función secante del ángulo x a partir de la grafica de la función coseno del ángulo.

Gráfica de la Función Cosecante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion seno. Recuerde que la función cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion seno y la gráfica de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cosecante del ángulo x a partir de la grafica de la función seno del ángulo.