TEOREMA DE TALES DE MILETO
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos
aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en
el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro
existente (triángulos semejantes son los que tienen
iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triángulos rectángulos (los
circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer
que dos triángulos sonsemejantes si tienen los ángulos correspondientes
iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales
recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela
a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
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Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a
los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula
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Corolario
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos
triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello
significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se
mantiene constante en el otro.
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Una aplicación del Teorema de Tales.
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Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos
que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario,
el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el
cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se
cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es
evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el
corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en
Egipto.
Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría
particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un
punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema (véase figuras 1 y 2), es un caso particular de una propiedad
de los puntos cocíclicos y
de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
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Figura 1.
Ilustración
del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
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Figura 2.
Siempre
que AC sea un diámetro, el ángulo B será
constante y recto.
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Demostración:
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En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos
son iguales por ser todos radios de
la misma circunferencia.
Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2α + 2β = π (radianes) (180º)
Dividiendo ambos miembros de la
ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
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Figura 3.
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.
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Semicircunferencia
Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda
al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia.
Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito
en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro".
Demostración
Sea el triángulo BCA (en la figura superior)
Como OA y OB son iguales (radios de la
semicircunferencia) , los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son
iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB.
Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un
triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser
recto.
Corolarios
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Corolario
1
“En todo triángulo rectángulo
la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad
de la hipotenusa.”
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Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier
posición que adopte el vértice B vale
la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es
la mediana de la hipotenusa, (véase figura 3).
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Corolario 2
“La circunferencia circunscripta a todo triángulo
rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su
circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
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