HISTORIA DE LA PROBABILIDAD

En cuanto al concepto en sí, la probabilidad y el azar siempre ha estado en la mente del ser humano. Por ejemplo:

• Sumerios y Asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados.
• En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas de los faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados.
• Por su parte, los juegos con dados se practicaron ininterrumpidamente desde los tiempos del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aunque no se conoce apenas las reglas con las que jugaban. Uno de estos juegos, denominado "hazard", palabra que en inglés y francés significa riesgo o peligro, fue introducido en Europa con la Tercera Cruzada. Las raíces etimológicas del término provienen de la palabra árabe "al-azar", que significa "dado". Posteriormente, en el "Purgatorio" de Dante el término aparece ya como "azar".
• En la actualidad, ruletas, máquinas tragaperras, loterías, quinielas,..., nos indican que dichafascinación del hombre por el juego, continúa.

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal »tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

A mediados del siglo  XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.

HISTORIA DE LA ESTADISTICA

La palabra “estadística” a menudo nos trae a la mente imágenes de números apilados en grandes arreglos y tablas, de volúmenes de cifras relativas a nacimientos, muertes, impuestos, poblaciones, ingresos, deudas, créditos y demás. Al instante de escuchar esa palabra, son estas las imágenes que llegan a nuestra imaginación. La estadística es mucho más que sólo números apilados y gráficas bonitas. Es una ciencia con tanta antigüedad como la escritura, y es por sí misma auxiliar de todas las ciencias –medicina, ingeniería, sociología, psicología, economía, etcétera–, así como de los gobiernos, mercados y otras actividades humanas. En la actualidad, la estadística ocupa un lugar de gran importancia en la investigación y en la práctica médica. En los estudios de medicina de cualquier país se incluyen varias asignaturas dedicadas a la estadística; es difícil, por no decir imposible, que un trabajo de investigación sea aceptado por una revista médica sin que sus autores hayan utilizado técnicas y conceptos estadísticos en su planteamiento y en el análisis de los datos. La estadística que conocemos hoy día debe gran parte de sus logros a los trabajos matemáticos de aquellos hombres que desarrollaron la teoría de las probabilidades, con la cual se adhirió la estadística a las ciencias formales. Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales y otras cosas. Hacia el año 3000 a. de C. los babilonios utilizaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el antiguo Egipto, los faraones lograron recopilar, alrededor del año 3050 a. de C., prolijos datos relativos a la población y la riqueza del país; de acuerdo con el historiador griego Heródoto, dicho registro de la riqueza y la población se hizo con el propósito de preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto, Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de verificar un nuevo reparto. En el antiguo Israel, la Biblia da referencia, en el libro de los N ú m e r o s, de los datos estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El rey David, por otra parte, ordenó a Joab, general del ejército, hacer un censo de Israel con la finalidad de conocer el número de habitantes, y el l ibro C r ó n i c a s describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China ya había registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. de C. Los griegos, hacia el año 594 a. de C., efectuaron censos periódicamente con fines tributarios, sociales (división de tierras) y militares (cálculo de recursos y hombres disponibles). La investigación histórica revela que se realizaron 69 censos para calcular los impuestos, determinar los derechos de voto y ponderar la potencia guerrera. Pero fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron emplear los recursos de la estadística. Cada cinco años llevaban a cabo un censo de la térpoblación, y los funcionarios públicos tenían la obligación de anotar nacimientos, defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos periódicos del ganado y de las riquezas contenidas en las tierras conquistadas. En la época del nacimiento de Cristo sucedía uno de estos empadronamientos de la población bajo la autoridad del Imperio. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en interpretar esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden estudiar con gran exactitud utilizando determinadas distribuciones probabilísticas. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

PROBLEMAS CON LEY DE COSENO

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

$$$$

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

$c$ 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C $x$ 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120° $x$ 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2 $x$ 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2 $x$ 2 = 100 + 36 + 60 $x$ 2 = 196 $x$ = 14

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x
$$$$
Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

$b$ 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B $x$ 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45° $x$ 2 = 36 + 100 − 120 2 2 $x$ 2 = 136 − 602 $x$ 2 ≈ 51.15 $x$ ≈ 7.15

En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y y
$$$$
Solución:
Como conocemos los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

	Hallando x $a$ 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A $12$ 2 = 6 2 + 14 2 − 2 ( 6 ) ( 14 ) cos x $144$ = 36 + 196 − 168 cos x $168$ cos x = 36 + 196 − 144 $cos$ x = 88168 $x$ ≈ 58.41°
	Hallando y $c$ 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C $14$ 2 = 12 2 + 6 2 − 2 ( 12 ) ( 6 ) cos y $196$ = 144 + 36 − 144 cos y $144$ cos y = 144 + 36 − 196 $cos$ y = -16144 $y$ ≈ 96.38°

PROBLEMAS CON LEY DE SENO

Resolver el triángulo si se sabe que las medidas de los ángulos son las siguientes: A=52°, B=58°, B=70° y que el lado opuesto al ángulo C mide 26.7 unidades.

Solución:

Sabemos que la suma de la medida de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto para hallar el ángulo C, utilizamos los ángulos A y B . C = 180°-(52°+70°) C = (180°-122)° =58° Encontrar la medida del lado opuesto al ángulo A, llamémoslo $"a"$ : $sen$ ( 58° ) 26.7 = sen ( 52° ) a a = 26.7 sen ( 52° ) sen ( 58° ) a = 24.8 Encontrar la medida del lado opuesto al ángulo B, llamémoslo $"b"$ ": $sen$ ( 70° ) b = sen ( 58° ) 26.7 b = 26.7 sen ( 70° ) sen ( 58° ) b = 29.6 Resolver el triángulo con lados $a$ = 20 y $c$ = 11 y el ángulo C (opuesto al lado c) mide 30° Solución: $sen$ ( 30° ) 11 = sen ( A ) 20 sen ( A ) = 20 ( 1 2 ) ( 1 11 ) sen ( A ) = 10 11 A = arcsen ( 10 11) A = 65.38° La función seno tiene el mismo valor para el ángulo 180°-65.38°=114.2°, por lo tanto A tiene dos posibles valores: 65.38° o 114.2° Entonces, para el ángulo B también tenemos dos posibles soluciones: Solución 1: Si A=65.38°, entonces: $B\prime$ = 180 − 30 − 65.38 B′ = 84.62 Por lo tanto el lado b′sería: $sen$ ( 30° ) 11 = sen ( 84.62° ) b′ b′= 11 sen ( 84.62° ) sen ( 30° ) b′ ≈21.9 Solución 2: Si A=114.2°, entonces: $B″$ = 180 − 30 − 114.2 B″ = 35.8 Por lo tanto el lado b″ sería: $sen$ ( 30° ) 11 = sen ( 35.8° ) b″ b″ = 11 sen ( 35.8° ) sen ( 30° ) b″ ≈ 12.9

LEY DE SENOS Y COSENOS

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

EJERCICIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Comprobar las identidades:

1 

2 

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1

2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades trigonométricas fundamentales

1Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:

1 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.